解:设椭圆方程为x^2/a`^2+y^2/b^2=1,则b=√3,a`=2,由向量AM*AN=0知,AM垂直于AN,那么M、N两点一定位于x轴两侧,假设M点位于X轴下方,坐标为(x1,y1)N点位于X轴上方,坐标为(x2,y2),直线L与X轴交于（-m/k,0）点.F为左焦点,坐标为（-1,0）,A点坐标为（2,0）
S△AMN=1/2|AN|.|AM|.sinA=1/2y2(2+m/k)+1/2(-y1)(2+m/k)=1/2(2+m/k)(y2-y1)
S△FMN=1/2y2(1-m/k)+1/2(-y1)(1-m/k)=1/2(1-m/k)(y2-y1)
S△FMN/S△AMN=(1-m/k)/(2+m/k)=(k-m)/(2k+m)
所以,只要2k+m不为0,则有a=(k-m)/(2k+m)一个实数的存在.
另外一种解法：
因为这两个三角形共底MN,已知A、F两点的坐标可知,这两点到直线L的距离.点（xo,yo）到直线ax+by+c=0的距离为|axo+byo+c|/√a^2+b^2可知：
S△AMN=1/2|2k-0+m|/√k^2+1.|MN|
S△FMN=1/2|-k-0+m|/√k^2+1.|MN|
所以S△FMN/S△AMN=|k-m|/|2k+m|