设球半径为r，圆柱的底面半径也为r，高为2r，
则V₂=2πr³．
设圆锥底半径为R=rcotα，高H=Rtan2α．
则V₁=

1

3

πR²H=

1

3

（πr³cos²αtan2α）
则V₁：V₂=（cos²αtan2α）：6．
∵cos²αtan2α=

2

tan2α−tan4α

则当tan²α=

1

2

，即tanα=

2

2

时，cos²αtan2α取最小值8，
此时k_min=

4

3

故答案为：

4

3