微分中值定理证明不等式证明2a/(a^2+b^2)_数学解答

微分中值定理证明不等式
证明2a/(a^2+b^2)<(lnb-lna)/(b-a)<1/(ab)^(1/2)已知0

人气：135 ℃　时间：2020-03-03 05:13:28

解答

右边用柯西中值定理:
(f(x1)-f(x2))/(g(x1)-g(x2))=f'(p)/g'(p)
其中 x1设f(x)=ln(x),g(x)=√x-1/√x
则(f(b/a)-f(1))/(g(b/a)-g(1))=f'(p)/g'(p)
其中1这是关键,以下可以不看自己算就行了,写的太乱）
f(b/a)-f(1)=lnb-lna
g(b/a)-g(1)=√(b/a)-√(a/b)
f'(p)=1/p
g'(p)=1/2*(p^(-1/2)+p^(-3/2))
f'(p)/g'(p)=2/(√p+1/√p)<1
原因是用均值不等式易得√p+1/√p>2

左边好正,跟均值不等式有点关系