由函数y=f（x+1）为奇函数可知其图象关于原点（0，0）对称，
而函数y=f（x）的图象可由y=f（x+1）图象向右平移1个单位得到，
故y=f（x）的图象关于点（1，0）对称，
又y=f（x）与y=g（x）图象关于y=x对称，故函数y=g（x）图象关于点（0，1）对称．
由因为x₁+x₂=0，即x₁=-x₂，故点（x₁，g（x₁）），（x₂，g（x₂））关于点（0，1）对称，
故g（x₁）+g（x₂）=2，
故选A