第一,两个词组都有 以…开始；的意思.句子里面都是做谓语的.
第二,to start with 还有“首先”这样的意思,做时间状语.
两个短语的具体意思以及相关例子如下：
一、 to start with
（1）以…开始；从…着手；有…作为开头；
· A thousand li journey starts with the first step.
千里之行,始于足下.
（2） 首先；第一；起初;最初
· To start with,we have the correct leadership of the Party.
首先,我们有党的正确领导.
二、to begin with
以…为起点；开始（做）…
Knowledge begins with practice.
认识从实践开始.
The ocean began with little drops of water.
海洋是由小水珠组成（起源于水珠）.