the birds' cage是正确的书写方法.这涉及到所有格的使用方法.
一般所有格是在名词后面加's,如David's book,意为“大卫的书”.
你这里想表达的意思应该是“鸟的笼子”,但这个意思比较广泛,可以是各种鸟的笼子,所以这里要用复数即birds.所以应该表达为the birds's cage,但这时要省略撇号后面的s,所以是the bird' cage.