1这个例子不好举,泛函分析中有个证明,只是证明了存在性,也没构造出反例
2不是一回事,三角函数构成的级数都叫三角级数,比如cosx的n次幂构成的级数
3这个有很多,泰勒展开也可以的说,只不过算起来有点费劲,不过傅里叶分析本身是为了搞周期函数才搞出来的,所以展开周期函数用傅里叶用的比较多