each other不是介词短语,因为这两个单词没有一个是介词.
这是两个代词构成的相互代词,即表示相互关系的代词.在英语只有两个相互代词,一个是each other,另一个是one another.一般each other指两者,当表示两者以上时就用one another.
至于用法,我们只要把他们看作复合代词就行了,用法跟名词差不多.比如,他们可以直接做动词宾语,介词宾语等等,另外也有所有格形式,后面接's.不过我还没有见到过他们作主语的情况.
write to each other是完全可以用的,因为each other在这里作介词宾语：
例如,we should write to each other every month from now on.从今往后,我们应该每月都给彼此写信.
记得采纳咯!如果不懂,欢迎追问.