关于线性代数中特征值与特征向量 1.为什么A与B等价的充要条件是A与B的秩相同(r(A)=r(B))?为什么A与B相似的充要_数学解答

关于线性代数中特征值与特征向量
1.为什么A与B等价的充要条件是A与B的秩相同(r(A)=r(B))?
为什么A与B相似的充要条件是A与B的迹相同（tr(A)=tr(B)?
2.设A = ξ η†（ η†表示η的逆,上标打不出来）,其中
ξ = [X1,X2,… ,Xn]† ≠ 0,η = [X1,X2,… ,Xn]† ≠ 0.
求证：ξ是A的特征向量,并指出其对应的特征值.
说错了%>_

人气：441 ℃　时间：2020-05-15 11:05:28

解答

等价就是用一系列初等行列变换的两个矩阵,只要秩相等,两个矩阵就都能化为标准形,对角线有r=r(A)个1,其余为0的矩阵.
第二个结论不对,相似矩阵迹相等,但迹相等不一定相似.
第二题根本没看明白,是说A写成两个可逆矩阵的乘积吗?那是向量组的等价，不是矩阵的等价。当然可以证明两者之间是等价的一个问题。第二题看明白了，是两个向量的乘积，不是矩阵。A=xy^T,x y都非零，则Ax=xy^Tx=(y^Tx)x，注意y^Tx是一个实数，故x是特征向量，y^Tx就是对应的特征值。