分解质因数：1001=7×11×13；
1～1001中，有7的倍数[

1001

7

]＝143（个），有11的倍数[

1001

11

]＝91（个），有13的倍数[

1001

13

]＝77（个）；有7×11=77的倍数[

1001

77

]＝13（个），有7×13=91的倍数[

1001

91

]＝11（个），有11×13=143的倍数[

1001

143

]＝7（个），有1001的倍数1个．
由容斥原理知：在1～1001中能被7或11或13整除的数有（43+91+7）-（13+11+7）+1=281（个），从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720（个）．也就是说，分母为1001的最简分数有720个．