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数学
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(1)一个半径为r的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形的圆心角是多少弧度?是多少度?扇形的面积是多少?
(2)一扇形的周长为20 cm,当扇形的圆心角α等于多少弧度时,这个扇形的面积最大?
人气:216 ℃ 时间:2020-02-04 01:12:23
解答
(1)设扇形的圆心角是θrad,因为扇形的弧长是rθ,
所以扇形的周长是2r+rθ.依题意,得2r+rθ=πr,
∴θ=π-2=(π-2)×
(
180
π
)°
≈1.142×57.30°≈65.44°≈65°26′,
∴扇形的面积为S=
1
2
r
2
θ=
1
2
(π-2)r
2
.
(2)设扇形的半径为r,弧长为l,则l+2r=20,
即l=20-2r(0<r<10)①
扇形的面积S=
1
2
lr,将①代入,得S=
1
2
(20-2r)r=-r
2
+10r=-(r-5)
2
+25,
所以当且仅当r=5时,S有最大值25.此时
l=20-2×5=10,α=
l
r
=2.所以当α=2rad时,扇形的面积取最大值.
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