对于BC上任意一点R来说,△PQR的周长中,PQ的长度始终没变,因此问题等价于在BC上求一点R,使PR＋QR最小,这和那个课本上的建造自来水厂的问题一模一样.
作点P关于BC的对称点P',连结P'Q交BC于点R,则R是使△POQ周长最小的点.
设D是BC上异于R的任意一点
∵P、P'关于BC对称
∴PR＝P'R,PD＝P'D
在△P'QD中,QD＋P'D＞P'Q＝P'R＋QR
∴QD＋PD＞PR＋QR
∴PQ＋QD＋PD＞PQ＋PR＋QR
也就是,对于BC上异于R的任意一点D,都有△PQD的周长大于△PQR的周长
这说明△PQR的周长最小