为了方便用X≡a(mod m)表示X用m除余数为a,aX≡b(mod m) 表示aX用m除余数为b,这称为同余式,那么两题如下去
1.求X满足同余式组
X≡1(mod3),X≡2(mod4),X≡4(mod5),
先求X1,X2,X3,它们分别满足同余式
20X1≡1(mod3),15X2≡2(mod4),12X3≡4(mod5),
(20=4×5,15=3×5,12=3×4)
解得X1≡2(mod3),X2≡2(mod4),X3≡2(mod5),(如何解下面讲)
求得上面三个同余式均是2,3个2是巧合,
故得X≡20×2+15×2+12×2≡94(mod60),X=34.
2.求X满足同余式组
X≡5(mod9),X≡1(mod7),X≡2(mod5),
先求X1,X2,X3,它们分别满足同余式
35X1≡5(mod9),45X2≡1(mod7),63X3≡2(mod5),
解得X1≡4(mod9),X2≡5(mod7),X3≡4(mod5),
故得X≡35×4+45×5+63×4≡617(mod315),X=302.
如何求同余式20X1≡1(mod3),15X2≡2(mod4),12X3≡4(mod5),等等,对你们中学生来说用尝试法即可,只要3,4,5互质(9,7,5互质),同余式必有解,如12X≡4(mod5),将X=1,2,...,5代入尝试,X=1时,12X用5除余2,X=2,12X用5除余4,故X=2是解,尝试法计算量不大,m=5,最多尝试5次,m=9,最多尝试9次,如35X≡5(mod9),最多尝试9次,将X=1,2,3,…,9代入即可,如果你不想用尝试法,方法很多,但不如尝试法来的简单,如计算12X≡4(mod5),(1)一种是求不定方程,12X≡4(mod5)等价于求二元不定方程的整数解12X-5Y=4,可用欧几里得辗转相除法来求.
(2)先求12X≡1(mod5)的解,利用欧拉定理(这是数论重要定理a^(p-1)≡1(modp))直接求得X≡12^(5-2) (mod5),X≡12^3 ≡2^3=8≡3,12X≡4(mod5)的解为X≡4×3≡2(mod5),这种方法求同余式aX≡b(modm)要求a,m互素.
可参看看我写的一篇文章: