如果三个平面两两相交,且三条直线不重合.求证:三条直线互相平行或交于一点.
人气:336 ℃ 时间:2019-08-20 15:03:49
解答
已知:平面α、β、γ,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c.
求证:a,b,c相交于同一点,或a∥b∥c.
证明:∵α∩β=a,β∩γ=b
∴a,b⊂β ∴a,b平行或相交.
(1)若a∥b,∵a⊂α,b⊄α,∴b∥α
又b⊂γ,γ∩α=c,∴b∥c
由公理4得a∥b∥c
(2)若a,b相交,设a∩b=O,则O∈a,O∈b,
∵b⊂β,∴O∈β
同理a⊂α,b⊂γ,得O∈α,O∈γ,
故O为α和γ的公共点,
又∵α∩γ=c 由公理2知O∈c ∴a,b,c相交于同一点O.
综合(1)(2)可知:三个平面两两相交,且三条直线不重合,则这三条直线互相平行或交于一点.
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