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已知命题P:方程
x
2
m
+y
2
=1表示焦点在y轴上的椭圆;命题Q:直线y=x-1与抛物线y=mx
2
有两个交点.
(1)若命题Q为真命题,求实数m的取值范围;
(2)若命题P与Q中有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围.
人气:203 ℃ 时间:2020-03-27 23:44:06
解答
命题P:方程
x
2
m
+y
2
=1表示焦点在y轴上的椭圆⇔0<m<1.
(1)若命题Q:直线y=x-1与抛物线y=mx
2
有两个交点⇔mx
2
=x-1有两个交点
⇔mx
2
-x+1=0有两个不同实根,得
m≠0
1-4m>0
,∴m<
1
4
且m≠0,
故m的取值范围是(-∞,0)∪(0,
1
4
)
(2)若命题P与Q中有且仅有一个为真命题,则P真Q假或P假Q真
若P真Q假,得
1
4
≤m<1;若P假Q真,得m<0.
故m的取值范围是(-∞,0)∪[
1
4
,1)
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