圆台有一半径为R的内切球,已知圆台的母线长为 l
求:圆台的表面积!
先说明:R是球的半径!
人气:330 ℃ 时间:2020-03-24 03:15:43
解答
圆台有一半径为R的内切球,已知圆台的母线长为 L,求:圆台的表面积!
所谓“圆台”,就是垂直于圆锥轴线横切一刀留下的上下底面直径不相等的圆台,把其侧面
展开当然是扇形的一部分.如果上下底面直径相同,那不叫“圆台”,应该叫“圆柱”.如果是
圆柱,那你这问题太简单了,所以还是按“圆台”回答.
(有事,暂停,待续)先解决怎么计算它的高、上下底面的圆半径!!!半径为R的球内切于圆台,所谓内切,是既与圆台的圆锥形侧面相切(切线是一个圆),也与圆台的上下底面相切,因此圆台的高H就是球的直径,即H=2R。作图:过圆台轴线的纵向截面是一个等腰梯形,该梯形的上底长度等于圆台上底直径d₁,梯形的下底的长度等于圆台下底的直径d₂,再画出此梯形的内切圆,这个圆就是内切球的大圆。由图不难看出,梯形的腰就是圆台的侧母线L,且L=r₁+r₂,,其中r₁=d₁/2,是圆台上底的半径;r₂=d₂/2,是圆台下底的半径。故圆台的侧面积=π(r₁+r₂)L=πL²,上下底面积之和=π(r²₁+r²₂)=π[(r₁+r₂)²-2r₁r₂]=π(L²-2r₁r₂)..............(1)由于(r₂-r₁)²=L²-H²=(r₁+r₂)²-(2R)²=(r²₁+r₂)²-4R²,展开移项化简,由此得:4r₁r₂=4R²,即r₁r₂=R²,代入(1)式即得圆台上下底面积之和=π(L²-2R²);故圆台的表面积=πL²+π(L²-2R²)=2π(L²-R²).
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