假设A可对角化,不妨设P-1AP=diag(a,b,c).（1）（对角线上是a,b,c的对角矩阵）P可逆
（1）式两边平方：P-1A^2P=diag（a^2,b^2,c^2).（2）
（1）式两边三次方：P-1A^3P=diag（a^3,b^3,c^3).（3）
由（2）（3）式及A^2=A^3,所以a^2=a^3,b^2=b^3,c^2=c^3
所以a,b,c属于集合｛0,1｝,所以a=a^2=a^3...
此时有diag(a,b,c)=diag（a^2,b^2,c^2)=diag（a^3,b^3,c^3),又A=P diag（a,b,c) P-1
A^2=P diag(a^2,b^2,c^2) P-1 则A=A^2矛盾!
所以A不可对角化

即证存在向量α使得Aα=0     即证A不可逆
反证法：假设A可逆,存在A的逆A  -1,那么在式子A^3=A^2中左乘A-1得到：A^2=A,矛盾

即证A-I不可逆（I是单位矩阵）
同样反证法：假设A-I可逆,设其逆矩阵为(A-I)-1
那么由A^3-A^2=0,所以A^2(A-I)=0
上式两边同时右乘(A-I) -1：A^2=0
与题目条件0不等于A^3=A^2矛盾

例子：
010
000
001

题目应该是求证任何2X2矩阵都不满足条件0≠A^3=A^2≠A吧不然
01
00就是反例了
下面证明任何2X2矩阵都不满足条件0≠A^3=A^2≠A
反证法：假设存在2X2矩阵都满足条件0≠A^3=A^2≠A,同理：该矩阵不可对角化、0和1为特征值
上面两句话本身是矛盾的因为0和1是两个不同的特征值,这导致2X2矩阵可以被对角化
所以得
这个是一个矩阵能对角化的充分条件就是说，一个矩阵的所有特征值都不等的时候它就可以对角化。比如我说的那个，设A是2*2矩阵，α是1对应的特征向量，β是0对应的特征向量（α和β不等于0）那么就有Aα=α，Aβ=0即有A(α，β）=（α，β）D，这里D=:1 00 0那么α和β显然线性无关，不然如果线性相关设α=kβ，那么Aα=A(kβ）=kAβ=k*0=0不等于α所以矩阵（α，β）可逆，设为P则AP=PD所以P-1AP=D