（I）因为倾斜角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，
所以直线AB方程为y=x-3．
设点B（x，y），
由题意可得：

y＝x−3 (x−1)2+(y+2)2＝18

，
因为x＞0，y＞0，
所以解得x=4，y=1，
所以点B的坐标为（4，1）．
（II）由题意可得：联立直线与双曲线的方程

y＝x−3 x2 a2 −y2＝1

，
所以可得(

1

a2

−1)x2+6x−10＝0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
因为线段EF的中点坐标为（4，1），
所以x₁+x₂=

6a2

a2−1

=8，
所以a=2．