p为锐角三角形ABC所在平面上一点,如果角APB=角BPC=角CPA=120度P就叫做三角形ABC的赛马点,1）若点P为锐角的费尔_数学解答

p为锐角三角形ABC所在平面上一点,如果角APB=角BPC=角CPA=120度P就叫做三角形ABC的赛马点,
1）若点P为锐角的费尔马点,且角ABC=60度,PA=2,PC=3,则PB的值为_____；
（2）如图,在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB',连接BB'.求证：BB'过三角形ABC的费尔马点P（好的加分）
当三角形ABC是边长4的正三角形赛马点P到BC边的距离是?
快、、

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解答

1)∵∠ABC=60度∴∠ABP+∠CBP=60度
又∵∠ABP+∠PAB=60度∴∠CBP=∠BAP
又∵∠APB=∠BPC
∴△APB∽△BPC
∴BP^2=PA×PC=12
∴PB=2√3
(2)在锐角三角形ABC外侧作等边三角形ACB'连接BB',CB'
因为是锐角三角形,即可在BB'上选取一点P,使得∠APB=120度
则∠APB'=60度,又∠ACB'=60度
所以A,P,C,B'四点共圆
所以∠CPB'=∠CAB'=60度
综上,∠APC=∠BPC=120度,可知P为费马点
再证BB'=PA+PB+PC
延长PC并截取CE=AP,连接EB'
因为内接的关系,易知∠PAB'+∠PCB'=180度,∠PAB'=∠ECB'
易证△PAB'≌△ECB',又∵∠B'EP=∠B'PE=60度
∴PB'=EB'=PE=PC+CE=PC+PA
得证BB'=PA+PB+PC