由已知可得双曲线
a = 2,b = 2√3,c = 4
左焦点坐标为 (-4,0),过左焦点且斜率 k = tan30° = √3/3的直线方程为
y = k(x + 4) = √3/3(x + 4),代入双曲线方程可求得与双曲线的交点,双曲线方程可化为
3x^2 - y^2 = 12
3x^2 - 1/3(x + 4)^2
= 3x^2 - x^2/3 - 8x/3 - 16/3
= 12
即
8x^2 - 8x -52 = 0
2x^2 - 2x - 13 = 0
|x1 - x2| = (√(b'^2 - 4a'c'))/a' = (√(4 + 104))/2 = 3√3
两交点距离
AB = |x1 - x2| * sec30° = 3√3 * 2/√3 = 6
由双曲线定义
AF2 - AF1 = 2a
BF2 - BF1 = 2a
AF2 + BF2 = 4a + AF1 + BF1 = 4a + AB
周长L△F2AB = AF2 + BF2 + AB = 4a + 2AB = 4*2 + 2*6 = 20AB不是在双曲线的两支上吗那不应该是 AF2 - AF1 = 2aBF1-BF2=2a的确，应该是在两支上，所以上面的推导有问题。按照你的追问，设A为左支的交点(x1，y1)，B为右支的交点(x2，y2)，又根据双曲线关于x轴对称，因此只讨论 y > 0 时的情况不影响得到的结果，所以只讨论 y > 0 时的情况，则x1 = (1 - 3√3)/2AF1的水平投影距离d = |x1 - (-4)| = 4 + (1 - 3√3)/2 = 9/2 - 3√3/2AF1 = d * sec30° = (9/2 - 3√3/2) * 2/√3 = 3√3 - 3 由双曲线定义AF2 - AF1 = 2a⑴BF1 - BF2 = 2a⑵BF1 = AB + AF1⑶ ⑶代入 ⑵得AB + AF1 - BF2 = 2a⑷ ⑷ - ⑴得AB + 2AF1 - BF2 - AF2 = 0AF2 + BF2 = AB + 2AF1周长L△F2AB = AF2 + BF2 + AB = 2AB + 2AF1 = 2*6 + 2*(3√3 - 3) = 6(1 + √3)