已知三角形ABC,（向量AB）^2=向量AB*向量AC+向量BA*向量BC+向量CA*向量CB,设a,b,c分为三角形三条边已知△_数学解答

已知三角形ABC,（向量AB）^2=向量AB*向量AC+向量BA*向量BC+向量CA*向量CB,设a,b,c分为三角形三条边
已知△ABC为直角三角形,角C=90°,设a,b,c分别是三角形ABC的三边,若不等式a^2（b+c）+b^（c+a）+c^2（a+b）>=kabc对任意a,b,c都成立,求k取值范围

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解答

角C=90°,
∴a=csinA,b=ccosA,不等式变为
k<=(sinA)^2(cosA+1)+(cosA)^2(1+sinA)+sinA+cosA,恒成立①
设sinA+cosA=t,0k<=1+t[(t^2-1)/2+1]=(1/2)(t^3+t+2),记为f(t),
f(t)是增函数,∴f(t)>f(1)=2,
∴k<=2,为所求.