设椭圆长轴长为2a（且a＞2），则椭圆方程为

x2

a2

+

y2

a2−4

=1．
由，

x2 a2 + y2 a2−4 ＝1 x+ 3 y+4＝0

得（4a²-12）y²+8

3

（a²-4）y+（16-a²）（a²-4）=0．
∵直线与椭圆只有一个交点，∴△=0，即192（a²-4）²-16（a²-3）×（16-a²）×（a²-4）=0．
解得a=0（舍去），a=2（舍去），a=

7

．∴长轴长2a=2

7

．故选C．