要使这四个数的平均数是一个整数，则这四个数的和必是4的倍数；
因为189+456+372=1017，1017÷4=254…1，只有找出比996大且被4除余3的三位数，才能符合题目要求，由于999÷4=249…3，这时有189+456+372+999=2016，
4能整除2016．所以所写的三位数是999；
答：所写的三位数是999．