设公共根是m
则m^2+2am+b=0 (1)
m^2+2bm+a=0 (2)
(1)-(2)
2m(a-b)+b-a=0
(a-b)(2m-1)=0
若a-b=0,a=b
则两个方程都是x^2+2ax+a=0,而这和仅有一个公共根矛盾
所以a-b不等于0
所以2m-1=0
m=1/2
带入m^2+2am+b=0
1/4+a+b=0
a+b=-1/4