答案是A. 此处what是形容词,相当于whatever
意思是：无论多么少的时间,他都尽力省出来去照顾那个无家可归的孩子.
关于what的用法,你可以查牛津高阶双解词典.

这个题有窍门,可以用排除法.B是在强调“他尽可能省出很少的时间”,与题意不符,错!C.根本就没有这个说法,当little做“少”讲,其后用的是不可数名词,前面只能用so, 不能用such. D.选项中,how为副词,不能用来修饰time. 所以选A.