（1）设这个反比例函数的解析式为Y=K/X,因为函数图象经过A（1,4）点,所以：4=K/1,即K=4,所以该函数的解析式为：Y=4/X；
（2）在Y=4/X中,令Y=2,则X=2,令Y=-2,则X=-2,所以P点的坐标为（2,2）或（-2,-2）；
（3）当P点的坐标为（2,2）时,直线AP的方程为：Y=6-2X,令Y=0,得X=3,所以直线Y=6-2X与X轴相交于（3,0）点,设为B点,所以：三角形AOP的面积S1=三角形AOB的面积S-三角形POB的面积S2=（1/2）*3*4-（1/2）*3*2=3；当P点的坐标为（-2,-2）时,直线AP的方程为：Y=2X+2,令Y=0,得X=-1,所以直线Y=2X+2与X轴相交于（-1,0）点,设为C点,所以：三角形AOP的面积S=三角形AOC的面积S1+三角形POC的面积S2=（1/2）*|-1|*4+（1/2）*|-1|*|-2|=3.