我认为矩阵函数主要还是为了研究算子的结构而引进的.
最简单的例子就是多项式,Cayley-Hamilton定理和极小多项式刻画了矩阵谱的很多性质.事实上多项式函数的应用并不止此.
常系数高阶线性常微分方程、线性常微分方程组、线性差分方程的求解过程当中都通过矩阵来描述微分/差分算子,最终解的表达式当中也显式含有矩阵函数.
另外还有一些比较复杂的方程也需要用矩阵函数来刻画.