令x=1得6²⁰¹⁰=a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀
令x=-1得2²⁰¹⁰=a₀-a₁+a₂-a₃…+a₂₀₁₀
两式相加得a0+a1+a2+…+a2010＝

62010+22010

2

=2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹
∵2²⁰⁰⁹=（3-1）²⁰⁰⁹=C₂₀₀₉⁰3²⁰⁰⁹+C₂₀₀₉¹3²⁰⁰⁸（-1）+…+C₂₀₀₉²⁰⁰⁸3¹（-1）²⁰⁰⁸+C₂₀₀₉²⁰⁰⁹（-1）²⁰⁰⁹
∴2²⁰⁰⁹被3除的余数的是2
∴2²⁰⁰⁹•3²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹被3除的余数是2
即a₀+a₁+a₂+…+a₂₀₁₀被3除的余数是2
故选C