（1）对称轴：直线x=-4 2×1 =-2,
令y=0,则x2+4x+3=0,
解得x1=-1,x2=-3,
所以,A（-3,0）；
（2）存在．
令x=0,则y=3,
所以,点C（0,3）,
∴直线AC的解析式为y=x+3,
∴直线AC与y轴的夹角为45°,
∵CN=OM,
∴四边形MNCO是等腰梯形或平行四边形,
当四边形MNCO是等腰梯形时,直线OM的解析式为y=-x,
联立 y＝x2+4x+3 y＝−x ,
消掉y得,x2+5x+3=0,
解得x1=−5+ 132 ,x2=−5− 132 （舍去）,
y=-x=5− 132 ,
此时,点M（−5+ 132 ,5− 132 ）,
当四边形MNCO是平行四边形时,直线OM的解析式为y=x,
联立 y＝x2+4x+3 y＝x ,
消掉y得,x2+3x+3=0,
△=32-4×1×3=-3＜0,
方程无解,
综上所述,点M（−5+ 132 ,5− 132 ）；
（3）存在．
由（1）可得点B（-1,0）,
①点P在对称轴左边时,点P的横坐标为-3-1=-4,
点P的纵坐标为y=（-4）2+4×（-4）+3=3
∴P1（-4,3）,
②点P在对称轴右边时,点P的横坐标为-1+1=0,
此时,点P与点C重合,A、F、P、Q四点共线,不能构成平行四边形,
③AF是对角线时,∵A（-3,0）,B（-1,0）,
∴点D是AF的中点,
∴点P在直线QD上,
即点P在对称轴上,
∴点P为二次函数的顶点坐标,
∵y=x2+4x+3=（x+2）2-1,
∴二次函数顶点坐标为（-2,-1）,
∴点P2（-2,-1）,
综上所述,P1（-4,3）,P2（-2,-1）．