（1）设正整数指数函数为f（x）=a^x（a＞0，a≠1，x∈N₊），因为函数f（x）的图象经过点（3，27），
所以f（3）=27，即a³=27，解得a=3，所以函数f（x）的解析式为f（x）=3^x（x∈N₊）．
（2）由f（x）=3^x（x∈N₊），可得f（5）=3⁵=243．
（3）∵f（x）的定义域为N₊，且在定义域上单调递增，
∴f（x）有最小值，最小值是f（1）=3；f（x）无最大值．