楼上各位大部分都没说到现代数学的公理的实质.
公理是一些前提假设,这些前提假设规定了整个理论的最基本的概念之间的关系,它们并不需要任何事实和经验的支持,只要它们本身在逻辑上没有矛盾就可以了.它们不能被推出,因为它们是最基本的东西.所有的定理都是由公理推出来的.
一个典型的例子是非欧几何的基本公理,它们提出时并没有任何事实和经验的支持,而且是违反直观的,尽管后来发现确实有事实支持这样一种几何的存在,但这并不能说明公理一定是需要经验的.