这是抽象代数的内容:
集合是基本概念,相当于一类/一堆/全体/...你该理解,不说了.
群是特殊的集,在它上面可以定义一种运算（通常叫做“乘法”,但跟数的乘法无必然联系）,要封闭/可结合/有单位元（类似乘1/加0）/有逆元（类似乘倒数/加相反数）...
例如,正有理数是乘法群,非零有理数也是乘法群,整数集在加法下成群.
注意,群不要求交换律,如果满足交换律,叫阿贝尔群（或加法群）.
环和域的要求就更高了,不必给你讲抽象的,只在数的范围内讨论：
在加/减/乘下封闭的数集是数环,如果数环在除法下也封闭,就叫数域.
某数的倍数全体（包括负的）成一数环,有理数集是最小的数域,实数集/复数集也是数域.
更深的内容参见大学课本,抽象代数/近世代数之类.