由题意知：△=[2（m-13）]²-4×6×（12-m）=4×[（m-13）²-6•（12-m）]应该是一个完全平方式，
所以（m-13）²-6•（12-m）是一个完全平方式，
令（m-13）²-6•（12-m）=y²（y是正整数），则
m²-20m-y²+97=0，即（m-10）²-y²=3，
∴（m-10+y）（m-10-y）=3×1=（-3）×（-1），
∴

m-10+y=3 m-10-y=1

或

m-10+y=1 m-10-y=3

或

m-10+y=-3 m-10-y=-1

或

m-10+y=-1 m-10-y=-3

，
解得m=12或8，
当m=12时，原方程即6x²-2x=0，
解得x=0或

1

3

，不符合题意，
当m=8时符合题意，整数m的值为8，
故答案为8．