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数学
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已知函数
f(x)=ax−
a
x
−2lnx
(a≥0),若函数f(x)在其定义域内为单调函数,求a的取值范围.
人气:478 ℃ 时间:2019-10-19 22:14:31
解答
原函数定义域为(0,+∞)
∴
f′(x)=a+
a
x
2
−
2
x
=
a
x
2
−2x+a
x
2
∵函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,
∴f'(x)≤0或f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立
(1)当
a=0时,f′(x)=−
2
x
<0
在(0,+∞)内恒成立,
∴a=0满足题意
(2)当a>0时,设g(x)=ax
2
-2x+a(x∈(0,+∞))
由题意知△=4-4a
2
≤0
∴a≤-1或a≥1
又∵a>0
∴a≥1
所以a的取值范围为:a=0或a≥1
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