设圆心O到AC的距离为a
圆心O到BD的距离为b
则
AK=√(R^2-a^2 ) +b
CK=√(R^2-a^2 )-b
BK=√(R^2-b^2 )+a
DK=√(R^2-b^2 )-a
AK²+BK²+CK²+DK²= R²-a²+ b²+2b√(R^2-a^2 )+ R²-a²+ b²-2b√(R^2-a^2 )+ R²-b²+ a²+2a√(R^2-b^2 )+ R²-b²+ a²-2a√(R^2-b^2 )=4R²
AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=2(AK²+BK²+CK²+DK²)=8R²