（2010•安徽）如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A_数学解答

（2010•安徽）如图，已知△ABC∽△A₁B₁C₁，相似比为k（k＞1），且△ABC的三边长分别为a、b、c（a＞b＞c），△A₁B₁C₁的三边长分别为a₁、b₁、c₁．

（1）若c=a₁，求证：a=kc；
（2）若c=a₁，试给出符合条件的一对△ABC和△A₁B₁C₁，使得a、b、c和a₁、b₁、c₁都是正整数，并加以说明；
（3）若b=a₁，c=b₁，是否存在△ABC和△A₁B₁C₁使得k=2？请说明理由．

人气：210 ℃　时间：2020-05-13 15:53:28

解答

（1）证明：∵△ABC∽△A₁B₁C₁，且相似比为k（k＞1），
∴

=k，a=ka₁；
又∵c=a₁，
∴a=kc；
（2）取a=8，b=6，c=4，同时取a₁=4，b₁=3，c₁=2；
此时

＝

=2，
∴△ABC∽△A₁B₁C₁且c=a₁；
（3）不存在这样的△ABC和△A₁B₁C₁，理由如下：
若k=2，则a=2a₁，b=2b₁，c=2c₁；
又∵b=a₁，c=b₁，
∴a=2a₁=2b=4b₁=4c；
∴b=2c；
∴b+c=2c+c＜4c，4c=a，b+c＜a，而应该是b+c＞a；
故不存在这样的△ABC和△A₁B₁C₁，使得k=2．