因为a，b，c均为整数，所以a-b和a-c均为整数，
从而由（a-b）¹⁰+（a-c）¹⁰=1可得

|a−b|＝1 |a−c|＝0

或

|a−b|＝0 |a−c|＝1.

若

|a−b|＝1 |a−c|＝0

则a=c，
从而|a-b|+|b-c|+|c-a|=|a-b|+|b-a|+|a-a|=2|a-b|=2．
若

|a−b|＝0 |a−c|＝1

则a=b，
从而|a-b|+|b-c|+|c-a|=|a-a|+|a-c|+|c-a|=2|a-c|=2．
因此，|a-b|+|b-c|+|c-a|=2．
故选B．