已知a,b,m,n,x,y为正数,若a,m,b,x成等差数列,a,n,b,y成等比数列,比较m与n,x与y的大小
设公差为d,公比为q
有
m=a+d
b=a+2d
x=a+3d
n=aq
b=aq^2
y=aq^3
b=a+2d=aq^2 得到 d=a(q^2-1)/2
m-n=a+d-aq=a+a(q^2-1)/2-aq=a(q-1)^2>=0
m>=n
(取等号时q=1,六个数都等于a)
x-y=a+3d-aq^3=a+(3/2)*a(q^2-1)-aq^3
=(-a/2)(2q^3-3q^2+1)
=(-a/2)(q^2-2q+1)(2q+1)
=(-a/2)(q-1)^2*(2q+1)
a>0,-a/2=0,
2q+1>0 (等比数列各项均为正值,公比必须大于0)
所以x-y