判断一个表达是否正确,可以有两个标准：
一是英语中是否有这个搭配或习惯表达；
二是是否符合你所需要表达的汉语意思且形式正确.
由于你没有给语境,单就speed up his way to success来说,可以说直接能用,但是要明确他的意思是：【加快了他成功的方式/进程】
如果你要表达：他加快了他成功的进展.可以表达为：
He speeds/speeded up on his way to success.
祝你开心如意!O(∩_∩)O~~