黎曼函数定义;　R(x)=0,如果x=0,1或(0,1)内的无理数； 　　R(x)=1/q,如果x=p/q（p/q为既约真分数）,即x为(0,1)内的有理数.
定理：黎曼函数在区间(0,1)内的极限处处为0.　　证明：对任意x0∈(0,1),任给正数ε,考虑除x0以外所有黎曼函数的函数值大于等于ε的点,因为黎曼函数的正数值都是1/q的形式（q∈N+）,且对每个q,函数值等于1/q的点都是有限的,所以除x0以外所有函数值大于等于ε的点也是有限的.设这些点,连同0、1,与x0的最小距离为δ,则x0的半径为δ的去心邻域中所有点函数值均在[0,ε)中,从而黎曼函数在x->x0时的极限为0.　　推论：黎曼函数在(0,1)内的无理点处处连续,有理点处处不连续.
“对x=0,只需考虑有极限,证明完全一样.”