先证limf(x)(x趋向于x0)=a推岛出对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a δε
对任意δ,因为limf(x)(x趋向于x0)=a,所以存在ε,当|x-x0|<ε时,|f(x)-f(x0)|<δ.因为xn趋向于xo,所以存在N,当n>=N时,|xn-x0|<ε,所以此时|f(x)-f(x0)|<δ,所以limf(x)(x趋向于x0)=a推岛出对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a
再证于对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a推导出limf(x)(x趋向于x0)=a
用反证法,如果limf(x)(x趋向于x0)=a1,a1不等于a,则由上面的证明对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a1,与已知矛盾,等其所证
综上limf(x)(x趋向于x0)=a等价于对任意{xn},当xn趋向于xo时,f(xn)趋向于a