证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=(a−

2

2x1+1

)−(a−

2

2x2+1

)-------------（2分）
=

2

2x2+1

−

2

2x1+1

=

2(2x1−2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，-----------------（4分）
∵指数函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，可得2x1−2x2＜0，---------------------（6分）
又∵2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，--------------（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
由此可得，对于任意a，f（x）在R上为增函数．----------（10分）