连续与可导
有这样两个定理或者推论
1> 函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是 f'(x0)的左右极限存在且相等.
2> 如果函数f(x)在点x0处可导,则函数在该点必然连续
现在假定有函数f(x)在其定义域上连续可导.在定义域上加入可去间断点x0,得到函数g(x).那这个g(x)是可导还是不可导呢?
例如 f(x)=sinx.g(x)=sinx,x不为0时.g(0)=1
两句话都是出自 《高等数学》教材 同济大学主编,高教出版社出版 第五版
第一个是 p82 关于单侧导数的描述
第二个是 p84 关于函数可导性与连续性的关系
关于我举的例子,g(x)在x0时可导,有g'(x)=cosx.同时,g'(0)的左导数和右导数存在且相等,都是cos0.那么g(x)在x=0这一点可导.所以g(x)在整个定义域上可导.左右极限都是存在的