对R的任一分划(A|B),可以假设B中无最小数,那么这意味着对于任意的a属于A,b属于B,有a小于c小于b且c不属于R.由于此时(A|B)是R的分划,Q又是R的真子集,则(A|B)也是Q的分划.但由R的定义,即R是Q的所有分划的集合知,Q只有两种分划,即有理分划和无理分划.这与c不属于R,即c=(A|B)既不是有理分划也不是无理分划相矛盾.所以假设不成立,B中必有最小值.