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数学
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我们来探究“雪花曲线”的有关问题:下图是边长为1的正三角形,将此正三角形的每条边三等分,而以居中的那一条线段为底边再作正三角形,然后以其两腰代替底边,得到第二个图形如下图;再将下图的每条边三等分,并重复上述的作法,得到第三个图形如下图.
(1)求第5个图形周长.
(2)求第n个图形与周长C的函数关系式.
人气:154 ℃ 时间:2020-09-30 21:16:10
解答
(1)观察发现:第二个图形在第一个图形的周长的基础上多了它的周长的
1
3
.第三个在第二个的基础上,多了其周长的
1
3
.依此类推,第二个周长:3×
4
3
,
第三个周长:3×
4
3
×
4
3
,
第四个周长:3×
4
3
×
4
3
×
4
3
.
第五个周长:3×
4
3
×
4
3
×
4
3
×
4
3
.
则得到的第5个图形的周长是3×(
4
3
)
4
=
256
27
.
(2)n次分形,边长变为原来的
(
4
3
)
n
,
∴周长C=3×
(
4
3
)
(n−1)
,
即第n个图形与周长C的函数关系式为:C=3×(
4
3
)
n-1
.
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