设正四棱锥S-ABCD的底面边长等于a，底面到球心的距离等于x
则：x2+(

2

2

a) 2＝R 2
而正四棱锥的高为h=R+x
故正四棱锥体积为：
V（x）=

1

3

×a2h=

1

3

×a2(R+x)=

2

3

(R 2−x 2)(R+x)
其中x∈（0，R）
∵

2

3

(R 2−x 2)(R+x) ＝

1

3

(2R−2x)(R+x)(R+x)≤

1

3

×(

(2R−2x)+(R+x)+(R+x)

3

)  3=

64

81

R³
当且仅当x=

1

3

R时，等号成立
那么这个正四棱锥体积的最大值为：

64

81

R³
故答案为：

64

81

R³