标题中的这个结论不成立.
只要是周期函数,不论有没有最小正周期,都存在两个比值不是无理数(即为有理数)的周期.
即便把条件加强为"任意两个周期的比值都是有理数",函数也可能没有最小正周期.
例如Dirichlet函数(有理数处取1,无理数处取0),其周期可以为任意有理数.
不过,正如你下面写的,其否命题是成立的:
若f(x)的某两个周期的比值是无理数,则f(x)不存在最小正周期.
也可以等价的叙述为逆命题
若f(x)存在最小正周期,则f(x)的任意两个周期的比值都是有理数.
证明就用:若f(x)存在最小正周期,则f(x)的任意周期均为最小正周期的整数倍.