如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4).,以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过C点.动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
1)在点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出相应的t值.
人气:188 ℃ 时间:2019-08-20 10:07:40
解答
(1)A(1,4)
由题意知,可设抛物线解析式为y=a(x-1)2+4
∵抛物线过点C(3,0),
∴0=a(3-1)2+4,
解得,a=-1,
∴抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3
(2)∵A(1,4),C(3,0),
∴可求直线AC的解析式为y=-2x+6.
∵点P(1,4-t).…(3分)
∴将y=4-t代入y=-2x+6中,解得点E的横坐标为x=1+t\2
∴点G的横坐标为1+t\2,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4-t²\4
∴GE=(4-t²\4)-(4-t)=t-t²\4
又点A到GE的距离为t\2,C到GE的距离为2-t\2
即S△ACG=S△AEG+S△CEG=1\2•EG•t\2+1\2•EG(2-t\2)=1\2•2(t-t²\4)=-1\4(t-2)2+1
当t=2时,S△ACG的最大值为1
(3)第一种情况如图1所示,点H在AC的上方,由菱形CQHE知CQ=CE=t,
根据△APE∽△ABC,知
AP\AB=AE\AC即t\4=2根号5-t\2根号5,解得,t=20-8根号5
第二种情况如图2所示,点H在AC的下方,由菱形CQHE知CQ=QE=EH=HC=t,PE=1\2t
,EM=2-1\2t,MQ=4-2t.
则在直角三角形EMQ中,根据勾股定理知EM2+MQ2=EQ2,即(2-1\2t)2+(4-2t)2=t2
解得,t1=20\13,t2=4(不合题意,舍去).
综上所述,t=20-8根号5或t=20\13
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