则∠PHC=∠PND=90°,
则∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD,
∵OM是∠AOB的平分线
∴PH=PN,∠POB=45°,
∵在△PCH与△PDN中,
|
∴△PCH≌△PDN(ASA)
∴PC=PD;
(2) ∵PC=PD,
∴∠PDC=45°,
∴∠POB=∠PDC,
∵∠DPE=∠OPD,
∴△PDE∽△POD,
∴PE:PD=PD:PO,
又∵PD2=
1 |
2 |
∴PE=
1 |
2m |
1 |
2m |
(3)①如图1,点C在AO上时,∵∠PDF>∠CDO,
令△PDF∽△OCD,
∴∠DFP=∠CDO,
∴CF=CD,
∵CO⊥DF
∴OF=OD
∴OD=
1 |
2 |
②如图2,点C在AO的延长线上时,
△PDF与△OCD相似,若∠2=∠PFD,则PC∥CD,与PC、DC相交于点C矛盾,
所以,只能是∠1=∠2,
由(1)可知PC=PD,
∴△PCD是等腰直角三角形,
∴∠1+∠2=45°,
∴∠1=22.5°,
过点P作PG⊥OM交OD于G,
∵∠AOB=90°,OM是∠AOB的平分线,
∴△POG是等腰直角三角形,
∴OG=
2 |
2 |
PG=OP=m,
∵∠1+∠3=∠PGO=45°,
∴∠3=22.5°,
∴∠1=∠3,
∴PG=DG=m,
∴OD=OG+DG=
2 |
2 |
综上所述,OD的长为:m或(
2 |