A的列+B的列=A+B的列
而A的每一列可以写成A的列空间的基的线性组合
B的也可以写成B列空间的基的线性组合
从而A+B的列就可以写成A与B的极大无关组的线性组合
从而A+B的列这一向量组可以被A和B的极大无关组线性表出
从而A+B的列秩不会超过A的列秩+B的列秩
得证.